مسئله “مبل متحرک”: ریاضیدانی یک معمای صدساله را حل کرد

1

برای نزدیک به ۶۰ سال، ریاضیدان‌ها با این سوال قدیمی دست‌وپنجه نرم کرده‌اند: آیا مبل شما می‌تواند از گوشه خانه جدیدتان عبور کند؟

اما جینئون بک از دانشگاه یونسه در کره به پیشرفتی دست یافته است. اثبات ۱۰۰ صفحه‌ای او به مسئله معروف “مبل متحرک” می‌پردازد؛ معمایی ریاضی که از اواسط قرن بیستم ذهن دانشمندان را به خود مشغول کرده است.

بالاخره شفافیت حاصل شد: چه نوع مبلی می‌تواند بدون ایجاد آشفتگی از گوشه‌های تنگ عبور کند؟

تولد مسئله مبل متحرک

این داستان از سال ۱۹۶۶ آغاز می‌شود، زمانی که ریاضیدان اتریشی-کانادایی لئو موزر مسئله “مبل متحرک” را مطرح کرد.

اگرچه ممکن است این مسئله بی‌اهمیت به نظر برسد، اما به اصول عمیق ریاضیاتی در حوزه ترکیبیات و هندسه مربوط می‌شود.

این مسئله پرسشی به ظاهر ساده مطرح می‌کند: بزرگ‌ترین شکل دوبعدی که می‌تواند از گوشه‌ای L-شکل در راهرویی با عرض واحد عبور کند، چیست؟

تصور کنید که می‌خواهید یک قطعه کاملاً مستطیلی از مبلمان را از یک راهروی باریک عبور دهید. یک مربع واحد به‌راحتی جا می‌شود، اما با افزایش ابعاد شیء، مانور آن غیرممکن می‌شود. چالش موزر، این ناامیدی در جابه‌جایی وسایل را در قالب یک مسئله ریاضی ارائه کرد.

مبل نیم‌دایره‌ای

جان همرزلی، ریاضیدان بریتانیایی، در سال ۱۹۶۸ تلاش کرد این مسئله را حل کند. او مبلی طراحی کرد که ترکیبی از یک نیم‌دایره و یک مربع با بریدگی نیم‌دایره‌ای بود.

طراحی او از نظر ریاضی کارآمد بود و می‌توانست با مساحتی معادل ۲٫۲۰۷۴ واحد از گوشه L-شکل عبور کند.

همرزلی همچنین یک حد بالایی برای این مسئله تعیین کرد: ۲٫۸۲۸۴ واحد، و بیان کرد که هیچ مبلی بزرگ‌تر از این مقدار نمی‌تواند عبور کند.

اصلاح راه‌حل

تقریباً ۲۵ سال بعد، جوزف گِروِر از دانشگاه راتگرز طراحی همرزلی را اصلاح کرد. او با گرد کردن لبه‌ها و افزودن قوس‌های بیشتر، شکلی جدید برای مبل ارائه داد که مساحت آن کمی بیشتر از ۲٫۲۱۹۵ واحد بود.

راه‌حل او “بهینه محلی” بود، به این معنا که بهترین شکل ممکن تحت محدودیت‌های تعریف‌شده توسط او بود.

با این حال، بدون داشتن یک فرمول جهانی برای تمام اشکال احتمالی مبل، ریاضیدانان نمی‌توانستند احتمال وجود طراحی بزرگ‌تر را رد کنند.

حل مسئله مبل متحرک

در سال ۲۰۱۸، یواف کالوس از مؤسسه سانتافه و دن رومیک از دانشگاه کالیفرنیا، دیویس، چرخشی مدرن به این مسئله افزودند.

با استفاده از شبیه‌سازی‌های کامپیوتری، این تیم نظریه‌پردازی کرد که شکلی با مساحت ۲٫۳۷ واحد ممکن است قابل‌قبول باشد. کار آن‌ها علاقه به این مسئله را دوباره زنده کرد و مرزهای ریاضی را گسترش داد.

اثبات جینئون بک

کار اخیر جینئون بک بر اساس همین پایه‌ها بنا شده است. او با استفاده از یک تکنیک ریاضی پیشرفته به نام تابع تزریقی، ویژگی‌های کلیدی طراحی مبل گروور را نقشه‌برداری کرد.

مساحت قابل‌قبول برای مبل
بک بررسی کرد که چگونه این ویژگی‌ها می‌توانند به ابعاد بزرگ‌تر گسترش یابند، در حالی که شکل مبل همچنان برای عبور از فضاهای تنگ مناسب باقی بماند.

با این رویکرد سخت‌گیرانه، بک به‌طور قطعی نشان داد که ۲٫۲۱۹۵ واحد حداکثر مساحت ممکن برای مبلی است که می‌تواند با موفقیت از یک گوشه L-شکل در راهرویی با عرض ۱ واحد عبور کند.

اگرچه یافته‌های او هنوز در انتظار بررسی همتایان است، اما در حال حاضر جامع‌ترین و قانع‌کننده‌ترین راه‌حل برای این مسئله ریاضی طولانی‌مدت به شمار می‌رود.

قدرت استدلال ریاضی

اثبات دانشگاه یونسه ممکن است این مسئله را برای یک گوشه L-شکل حل کند، اما چالش‌های واقعی اغلب پیچیده‌تر هستند.

برای مثال، اگر گوشه دومی در جهت مخالف ظاهر شود، ریاضیدانان مبل دوسویه رومیک را پیشنهاد می‌دهند؛ شکلی که برای حرکت از دو گوشه طراحی شده است.

اگرچه مسئله مبل متحرک ممکن است جزئی به نظر برسد، اما نشان‌دهنده قدرت استدلال ریاضی در حل مسائل عملی است.

کار بک نه‌تنها به هندسه و ترکیبیات کمک می‌کند، بلکه نشان می‌دهد که چگونه ریاضیات انتزاعی می‌تواند کاربردهای غیرمنتظره‌ای در دنیای واقعی داشته باشد.

معماهای مشابه ریاضی

مسئله مبل متحرک بخشی از دسته گسترده‌ای از معماهای ریاضی است که هندسه، بهینه‌سازی و ناوبری را بررسی می‌کنند. برخی از مسائل دیگر که همچنان باز هستند عبارت‌اند از:

• مسئله حرکت پیانو: این مسئله تعمیم‌یافته بررسی می‌کند که چگونه می‌توان هر شکلی را از محیطی محدود، مانند راهرویی با موانع، با کمترین حرکت ممکن عبور داد.
• مسائل بسته‌بندی: چگونه اشیای با شکل‌های نامنظم می‌توانند به کارآمدترین شکل ممکن در فضایی محدود جا شوند؟ این مسئله کاربردهای عملی در صنایع تولیدی و حمل‌ونقل دارد.
• مسئله “عدد بوسه” در ابعاد بالاتر: اگرچه در برخی ابعاد حل شده است، این مسئله بررسی می‌کند که چند کره می‌توانند به یک کره دیگر در فضای ابعاد بالاتر برخورد کنند.
• یافتن مسیر بهینه در محیط‌های پویا: چگونه می‌توان کوتاه‌ترین مسیر را در فضایی تعیین کرد که موانع آن به‌طور مداوم در حال حرکت یا تغییر هستند؟
• مسئله حرکت میز: مشابه مسئله مبل متحرک، این مسئله بررسی می‌کند که چگونه می‌توان شیئی شبیه میز را از فضاهای تنگ عبور داد، بدون اینکه واژگون شود.

این چالش‌ها تعامل میان خلاقیت، محاسبات و نظریه ریاضی را نشان می‌دهند. حل آن‌ها می‌تواند بینش‌های بیشتری را با کاربردهای عملی در رباتیک، لجستیک و حتی طراحی بازی‌های رایانه‌ای به همراه داشته باشد.

این مطالعه در پایگاه arXiv منتشر شده است.